Metoda konečných prvků

pro PGS

Informace k letnímu semestru 2009/2010

Zadání semestrální práce zde.

Literatura

[1] Karel Rektorys:
Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky
Academia Praha, 1999
[2] Petr Sváček, Miloslav Feistauer:
Metoda konečných prvků
skriptum FS ČVUT, Nakladatelství ČVUT 2006
[3] Claes Johnson:
Numerical solution of partial differential equations by the finite element method
Cambridge university press, Cambridge 1987
[4] Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott:
The Mathematical Theory of Finite Element Methods
Springer 2002
[5] Thomas J. R. Hughes:
The Finite Element Method - Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis
Dover Publications, Mineola, NY 2000
[6] Robert D. Cook:
Concepts and Applications of Finite Element Analysis
John Wiley & Sons, New York 1981

Literatura na internetu

Finite difference method - Wikipedia ... na úvod
Finite element analysis - Wikipedia ... na úvod
E.Süli, Lecture Notes (dole na stránce, pdf soubory)
D.Kuzmin: Introduction to Computational Fluid Dynamics , Lecture Notes (pdf soubory)
Příklad na MKP

Tematický plán na jednotlivé týdny semestru (bude průběžně aktualizován)

4 KD 104 10.března

Metoda konečných prvků - úvod.
Jednorozměrná eliptická úloha: variační formulace, souvislost slabého a klasického řešení, Ritz-Galerkinova aproximace, odhad chyby, MKP, lineární prvky.

5 KA 447 17.března

Numerická integrace v 1D (pdf).
Poissonova rovnice ve 2D (stručně).

Matematická teorie pro MKP.
motivace:
Jan Mandel: When Point Boundary Conditions Are Meaningful and When They Are Not, or, Why We Need Functional Analysis

Lineární funkcionál, bilineární forma.
Hilbertovy prostory, Rieszova věta o reprezentaci.

6 KA 447 24.března

Abstraktní formulace MKP pro eliptické okrajové úlohy.
Spojitá úloha: energetická norma, věta o ekvivalenci, Lax-Milgramova věta o existenci řešení.
Diskrétní úloha: Galerkinova a Ritzova aproximace, odhad chyby.

Sobolevův prostor H¹, zobecněné derivace. Vlastnosti prostorů H¹, H², H_o¹.
Greenova věta a Friedrichsova nerovnost.
Věta o stopách.

7 KA 447 31.března

Prostory konečných prvků.
Triangulace oblasti, lineární elementy na trojúhelnících, bilineární elementy, elementy vyššího řádu.

8 KA 447 7.dubna

Konstrukce prostoru V_h přibližných řešení.
Typické vlastnosti matic v úlohách MKP a metody jejich řešení.

9 KA 447 14.dubna

Příklad MKP ve 2D eliptické úloze: Slabá formulace úlohy.
konstrukce báze prostoru přibližných řešení, různé okrajové podmínky.

Podstata algoritmizace.
Matice tuhosti prvku, zobrazení na referenční element, izoparametrické prvky, numerická integrace.
Sestavení globální matice tuhosti.

10 KA 447 21.dubna

MKP pro parabolické rovnice.
Slabá formulace smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla, převod na systém obyčejných diferenciálních rovnic.

Aproximační teorie MKP.

11 KA 447 28.dubna

MKP v úlohách pružnosti.

12 KA 447 5.května

MKP v úlohách proudění (Navier-Stokesovy rovnice).

13 KA 447 12.května

odpadá - rektorské volno

14 KA 447 19.května

Konzultace, zápočet.